Строение верхней полурешетки рекурсивно-перечислимых $m$-степеней и смежные вопросы. I

Рассматриваются следующие верхние полурешетки: $\mathscr{L}^{\ell}$ — полурешетка рекурсивно-перечислимых степеней, полурешетка $_{a}\mathscr{L}=\{b\in \mathscr{L}^{\ell}\mid a\leqslant b\}$, где $a\in \mathscr{L}^{\ell}$ и $a$ не равно наибольшему элементу $\mathscr{L}^{\ell}$, и полурешетки вычислимых нумераций $\mathscr{L}(S_n)$ классов $S_n=\{\varnothing, \{1\},\dots, \{n\}\}$, где $n=1,2,\dots$. Доказывается (теорема 1), что полурешетку $\mathscr{L}^{\ell}\ ({}_{a}\mathscr{L}, \mathscr{L}(S_n))$ можно наделить такой нумерацией $\pi$ ($\zeta$, $\xi$ соответственно), что в подходящей категории нумерованных полурешеток $\mathscr{L}^{\ell}_\pi\ ({}_{a}\mathscr{L}_\zeta, \mathscr{L}(S_n)_\xi)$ обладает свойством "продолжения морфизма". Теорема 1 вместе с теоремой 2, утверждающей, грубо говоря, отделимость наибольшего элемента $\mathscr{L}^{\ell}_\pi\ ({}_{a}\mathscr{L}_\zeta, \mathscr{L}(S_n)_\xi)$, характеризуют полурешетку $\mathscr{L}^{\ell}\ ({}_{a}\mathscr{L}, \mathscr{L}(S_n))$ однозначно с точностью до изоморфизма. Из этого обстоятельства, в частности, вытекает, что вышеупомянутые полурешетки изоморфны, $\mathscr{L}^\ell\cong {}_a\mathscr{L}\cong \mathscr{L}(S_n)$. Предположение об изоморфности этих полурешеток было известной гипотезой.