О централизаторах $2$-подгрупп в конечных группах

ТЕОРЕМА 1. Если в простой конечной группе $G$ централизатор каждой подгруппы порядка $4$ является $2$-группой, то $G$ изоморфна одной из следующих групп: $L_2(q)$ для подходящего $q$, $Sz(2^{2n+1})$, $n\geqslant1$, $L_3(3)$, $L_3(4)$, $J_1$, $M_{11}$.
Здесь $L_n(q)=PSL(n,q)$, $M_{11}$ — группа Матье степени $11$, $Sz(2^{2n+1})$ — простые группы Сузуки, $J_1$ — простая группа Янко порядка $175560$ с абеловой силовской $2$-подгруппой. Одновременно с теоремой $1$, $2$ и $3$.
ТЕОРЕМА 2. Пусть $G$ — простая конечная группа, содержащая такую $2$-локальную подгруппу $H=N_G(E)$, что $O^{2'}(H/EO(H))$ изоморфна $L_2(2^m)$ для некоторого $m\geqslant2$, причем элементы порядка $3$ из $O^2(H/O(H))$ действуют без неподвижных точек на $EO(H)/O(H)$. Тогда либо $G$ изоморфна $L_3(2^m)$, либо $m=2$ и $G$ изоморфна $J_3$ — третьей группе Янко порядка $50232960$.
ТЕОРЕМА 3. Не существует простой группы, в которой централизатор некоторой инволюции изоморфен $Z_2\times L_3(4)$.