О наследственности радикалов колец

Пусть $\mathfrak{M}$ — произвольный класс колец, замкнутый относительно взятия идеалов и гомоморфных образов колец из $\mathfrak{M}$. Получены достаточные условия для того, чтобы фиксированный радикал $S$ был наследственным в классе $\mathfrak{M}$. Эти условия, в частности, выполняются в классе всех разрешимых колец. Пусть $\mathfrak{M}_1$ — произвольное многообразие $\Phi$-операторных йордановых колец, где $\Phi$ — ассоциативно-коммутативное кольцо и $\frac12\in\Phi$. Тогда для любого радикала $S$ в $\mathfrak{M}_1$ любой идеал $S$-полупростого кольца из $\mathfrak{M}_1$ является $S$-полупростым кольцом.