Нижний ниль-радикал колец типа $(\gamma,\delta)$

Для $\Phi$-операторных колец типа $(\gamma,\delta)$ $\left(\Phi\ni\frac16,\ \Phi\ni \frac1{\gamma-2\delta+1}\right)$ доказывается, что идеал полупервичного кольца является полупервичным кольцом, а идеал первичного кольца — первичным. Это позволяет построить нижний ниль-радикал в классе колец типа $(\gamma,\delta)$, свойства которого аналогичны свойствам нижнего ниль-радикала в классах ассоциативных, альтернативных и $(-1,1 )$-колец. В частности, нижний ниль-радикал является верхним радикалом, определенным классом всех первичных колец типа $(\gamma,\delta)$.