О ступени разрешимости равномерных произведений циклических групп

Равномерным произведением групп называется такое их произведение, в котором перестановочны любые две циклические подгруппы, взятые из различных множителей. Доказывается, что для любого натурального числа $k$ и любого нечетного простого числа $p$ существует равномерное произведение трех циклических $p$-групп, которое является $k$-ступенно разрешимой $p$-группой. Прямое произведение бесконечного числа таких $p$-групп по одному и тому же простому числу $p$ дает пример бесконечной неразрешимой $p$-группы, являющейся равномерным произведением циклических подгрупп.