Конечные группы с почти регулярным автоморфизмом порядка четыре

Даётся положительный ответ на вопрос П. Шумяцкого 11.126 из “Коуровской тетради”: доказывается существование таких константы $c$ и функции натурального аргумента $f(m)$, что если конечная группа $G$ допускает автоморфизм $\varphi$ порядка 4, имеющий ровно $m$ неподвижных точек, то она обладает нормальным рядом $G\geqslant H\geqslant N$, в котором $|G/H|\leqslant f(m)$, фактор-группа $H/N$ нильпотентна ступени $\leqslant 2$, а подгруппа $N$ нильпотентна ступени $\leqslant c$ (теорема 1). В качестве следствия получается, что локально конечная группа $G$, содержащая элемент порядка 4 с конечным централизатором порядка $m$, обладает таким же рядом, как в теореме 1. Теорема 1 обобщает теорему Ковача о локально конечных группах с регулярным автоморфизмом порядка 4, по которой такие группы центрально-метабелевы. Ранее первым автором была доказана почти центрально-метабелевость конечной 2-группы с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Доказательство теоремы 1 опирается на предыдущие работы авторов о кольцах Ли с почти регулярным автоморфизмом порядка 4. Сведение к нильпотентным группам осуществляется с помощью теорем типа Холла–Хигмэна. Используется представляющая независимый интерес теорема 2: если конечная группа $S$ содержит $c$-ступенно нильпотентную подгруппу $T$ индекса $|S:T|=n$, то она содержит также характеристическую подгруппу ступени нильпотентности $\leqslant c$, индекс которой ограничен в терминах $n$ и $c$. Ранее такое утверждение было известно для абелевых подгрупп, то есть для $c=1$.