Аксиома сравнимого выбора и униформизуемость проективных классов

Рассматриваются проективные классы произвольных высших ступеней $>0$ и уровней $> 1$ над произвольными бесконечными структурами. Предлагается следующая аксиома сравнимого выбора $AC^{\mathcal{I}}$: для всякого семейства осуществим выбор элементов из его множеств средствами не сложнее этого семейства. Пусть $\mathcal{I}$ — собрание классов семейств и $C(Y, Z)$ означает, что $Z$ содержит функцию выбора для $Y$; формулировка $AC^{\mathcal{I}}: \forall Y, Z (Y\in Z\in\mathcal{I}\to C(Y,Z))$. В качестве $\mathcal{I}$ рассматривается собрание $\mathcal{I}_\Sigma$ всевозможных $\Sigma$-классов. $ZF+AC^{\mathcal{I}_\Sigma}$ — минимальное обогащение $ZF$, в котором все такие классы униформизуемы; аналогичная $AC^{\mathcal{I}}$ указывается для свойства редукции. Аксиома $AC^{\mathcal{I}_\Sigma}$ доказывается в $ZF+V=L$, откуда следует полное решение в $ZF+V=L$ вопроса о свойствах отделимости, редукции и униформизуемости проективных классов: $\Pi$-классы отделимы, $\Sigma$-классы униформизуемы и обладают свойством редукции. Последнее влечет полное подтверждение предположений Аддисона о редукции произвольных $\Sigma$-классов. В $ZFC$ устанавливается, что поведение свойств отделимости, редукции и униформизуемости для произвольных классов зависят от их поведения лишь для классов вида $\Sigma_{k\leqslant2}^1$, $\Pi_{k\leqslant2}^1$.