Дифференцирования монокомпозиционных алгебр

Теорема 1. Пусть $\mathfrak{A}=\Phi1\oplus A$ — конечномерная невырожденная монокомпозиционная алгебра с единицей $1$ над полем $\Phi$, $A=\langle A, x\times y; f(x,y) \rangle$ — ассоциированная с ней КМ-алгебра. Эндоморфизм $D$ векторного пространства $\mathfrak{A}$ тогда и только тогда будет дифференцированием алгебры $\mathfrak{A}$, когда $1D=0$, $AD\subseteq A$ и
\begin{gather*} (x\times y)D= xD\times y+ x\times yD,\\ f(xD,y)+f(x, yD)=0 \end{gather*}
для любых $x,y\in A$.
Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 1 $\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_1\perp\mathfrak{A}_2\perp\dots \perp\mathfrak{A}_n$ — ортогональная сумма алгебр; $A\times A=A$. Тогда алгебра Ли дифференцирований $Der\,\mathfrak{A}$ алгебры $\mathfrak{A}$ разлагается в прямую сумму идеалов $Der\,\mathfrak{A}=\Delta_1\oplus\dots\oplus\Delta_n$, где $\Delta_i\cong Der\,\mathfrak{A}_i$ ($i=1,\dots,n$).