Подгруппы прямых произведений

Пусть $G$ — бесконечная подгруппа прямого произведения $\mathop{\Pi}\limits_{i\in I}G_{i}$ конечных групп. Тогда существует такое разбиение $I=\mathop{\bigcup}\limits_{a\in A}I(a)$ множества $I$ на непересекающиеся счетные подмножества $I(a)$, что прямое произведение $\mathop{\Pi}\limits_{a\in A}G^{(a)}$, $G^{(a)}=G\cap\mathop{\Pi}\limits_{i\in I(a)}G_{i}$, плотно в $G$ в тихоновской топологии. Отсюда выводится, что фактор-группа $FC$-группы по второму члену верхнего центрального ряда изоморфна подгруппе прямого произведения конечных групп (положительное решение вопроса 1.9 из "Коуровской тетради", РЖМат, 1974, 9А206К).