О существовании сильно $p$-вложенных подгрупп в конечных группах

Показано, что при ограничениях на централизаторы элементов порядка $p$ конечной группы $G$ $(p\neq 2)$, аналогичных ограничениям на централизаторы инволюций в ряде результатов Горенстейна и Уолтера (РЖМат, 1972, 6А199), либо для $G$ справедливы подобные резупьтаты, либо $G$ обладает сильно $p$-вложенной подгруппой. Если в простой группе $G$ нет элементов порядка $2p$, то $G$ обладает подгруппой $M$, индекс которой взаимно прост с $p$ и для любого элемента $x\in G\setminus M$ $p$-ранг $M\cap M^{x}$ не превосходит $3$. Простая группа $3$-ранга, большего $3$ или равного $1$, не имеющая элементов порядка $6$, обладает сильно $3$-вложенной подгруппой.