Конечные $p$-группы с автоморфизмом специального вида

При исследовании конечных разрешимых групп с $C$-замкнутыми инвариантными подгруппами возникли группы, имеющие следующее строение. Пусть $p,q_1,q_2,\dots,q_m$ – различные простые числа, $n_i$ – показатель числа $p$ по модулю $q_i$, $n$ – показатель $p$ по модулю $r=\prod\limits_{i=1}^m q_i$. Тогда $G=P\lambda\langle x\rangle$, где $P$ – группа, $Z(P)=P'=\prod\limits_{i=1}^{m}Z_i$, причём $Z_i$ и $P/Z(P)$ – элементарные абелевы группы порядков $p^{n_i}$ и $p^n$, соответственно, $|x|=r$, элемент $x$ действует на $P/Z(P)$ и каждой из подгрупп $Z_i$ неприводимо, $C_P(x^{q_i})=Z_i$. Устанавливаются необходимые и достаточные условия существования таких групп.