Неподвижные точки $p$-автоморфизмов конечных $p$-групп

Томпсон (РЖМат, 1965, 9А193) доказал, что если на конечной $p$-группе $P$, подгруппа Фраттини которой элементарна и центральна, действует $p$-группа $A$ так, что $P/\Phi(P)$ является свободным $Z_{p}(A)$-модулем, то $C_{p}(A)$ накрывает $C_{P/\Phi(P)}(A)$, т. е. образ $C_{p}(A)$ в $P/\Phi(P)$ равен $C_{P/\Phi(P)}(A)$. В работе доказано, что заключение теоремы Томпсона верно для всех групп $P$, ступень нильпотентности которых меньше $p$. В качестве следствия доказывается такое утверждение: пусть на конечной разрешимой группе $G$, силовская $p$-подгруппа которой имеет ступень нильпотентности меньше $p$, действует абелева $p$-группа автоморфизмов $A$. Любые две $A$-инвариантные холловы $p^{\prime}$-подгруппы из $G$ сопряжены элементами из $C_{G}(A)$.