Доказательство леммы о модельной полноте

Пусть любые две модели $G$ и $G^{\prime}$ класса $K$ абелевых групп без кручения сигнатуры $\tau=\langle+,H(x),D_{p}(x),\overline{D}_{p^{k}}(x)\rangle$ удовлетворяют условиям: (а) $X_{+}(G)=X_{+}(G^{\prime})$, (б) $X_{+}(H)=X_{+}(H^{\prime})$, (в) $X_{+}(G/_{p}H)=X_{+}(G^{\prime}/_{p}H^{\prime})$ для всех простых чисел $p$. Тогда класс $K$ модельно полон. Здесь $H(x)$ — предикат, выделяющий подгруппу $H$, $D_{p}(x)$ (соотв. $\overline{D}_{p^{k}}(x)$) — предикат, выделяющий элементы, делящиеся на $p$ в $G$ (соотв. делящиеся на $p^{k}$ в фактор-группе $G/H$), $X_{+}(G)$ — набор шмелёвских характеристик группы $G$.