Радикалы и нильпотентные элементы свободных альтернативных алгебр

Изучаются свойства радикалов и нильпотентных элементов свободных альтернативных алгебр. Рассматривается "элемент Клейнфелда" $k=([x,y]^2,r,s)$ в свободной альтернативной $\Phi$-алгебре $\mathfrak{A}$ более чем от трех порождающих. Доказывается, что $k^{2}=k{\mathfrak{A}}k=0$, откуда следует, что если $3\Phi\neq 0$, то в $\mathfrak{A}$ есть нильпотентные идеалы. Показывается, что квазирегулярный радикал $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$ свободной альтернативной алгебры $\mathfrak{A}$ над произвольной областью целостности $\Phi$ совпадает с совокупностью всех нильпотентных элементов алгебры $\mathfrak{A}$. Получено и некоторое описание фактор-алгебры: алгебра $\mathfrak{A}/\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$ изоморфна подпрямой сумме свободной ассоциативной алгебры и "свободного" кольца Кэли-Диксона. В основе доказательства лежит следующая характеризация радикала $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})$, имеющая самостоятельный интерес: $\mathfrak{J}(\mathfrak{A})=T(C)\cap D(\mathfrak{A})$, где $T(C)$ — идеал тождеств расщепляемой алгебры Кэли-Диксона над $\Phi$, а $D(\mathfrak{A})$ — ассоциаторный идеал алгебры $\mathfrak{A}$.