О группах с дополняемыми нормальными подгруппами

Теорема 1. Пусть $A$ — абелева нормальная подгруппа группы $G$, содержащаяся в некоторой ее подгруппе $H$ конечного индекса $m$. Если $A$ $m$-полна и в $H$ существует такая подгруппа $C$, что
$$H=AC,\ A\cap C\leqslant A^{(n)}=\{a\in A\mid a^n=1\},$$
то в $G$ существует такая подгруппа $K$, что $G=AK$, $A\cap K\leqslant A^{(nm)}$. Если $G=AK_{i}$, $A\cap K_{i}\leqslant A^{(n)}$ и пересечения $H\cap K_{i}$ сопряжены в $H$ по модулю подгруппы $A^{(n)}$, то подгруппы $K_{i}$ сопряжены в $G$ по модулю подгруппы $A^{(nm)}$, $i=1, 2$.
Теорема 2. Экстремальная нормальная подгруппа $N$ локально конечной группы $G$ тогда и только тогда дополняема с конечным пересечением в группе $G$ (т. е. $G=NK$, $N\cap K$ конечно при подходящей $K\leqslant G$), когда каждая силовская подгруппа из $N$ дополняема с конечным пересечением в любой содержащей ее силовской подгруппе группы $G$.