Решеточная определяемость некоторых матричных алгебр

Пусть $D$ — (ассоциативная) алгебра с делением над полем $k$, содержащим по крайней мере три элемента, $n$ — натуральное число, $n\geqslant 3$, $A=D_{n}$ — алгебра матриц над $D$ и $B$ — алгебра, решеточно-изоморфная алгебре $A$. Тогда $B$ изоморфна или антиизоморфна матричной алгебре $\widetilde{D}_{n}$ над некоторым телом $\widetilde{D}$, причем между телами $D$ и $\widetilde{D}$ существует $k$-полулинейное соответствие. Это обобщает теорему Барнеса, в которой тело $D$ предполагалось конечномерным (РЖМат, 1968, 2А179).