Автоморфизмы двумерных конгруэнц-групп

Пусть $\mathfrak{O}$ — область целостности с единицей и полем частных $k$ характеристики $\neq 2$, $\mathfrak{A}$ — ее идеал, $GL(2,\mathfrak{O};\mathfrak{A})$ — ядро естественного гомоморфизма $GL(2,\mathfrak{O})\rightarrow GL(2,\mathfrak{O}/\mathfrak{A})$, $G$ — произвольная подгруппа группы $GL(2,\mathfrak{O};\mathfrak{A})$, содержащая все ее верхние и нижние унитреугольные матрицы. Доказывается, что если идеал $\mathfrak{A}$ квазирегулярен, то каждый автоморфизм $\varphi$ группы $G$ может быть записан в виде $x^{\varphi}=\chi(x)g^{-1}x^{\sigma}g$, $x\in G$, где $\sigma\in{\rm Aut}\,k$, $g\in GL(2,k)$, $\chi\in{\rm Hom}\,(G,k^{\ast})$. При этом $\sigma$ и $\chi$ определяются автоморфизмом $\varphi$ однозначно, а $g$ — однозначно с точностью до умножения на скалярную матрицу. Условие квазирегулярности не может быть опущено. В качестве приложения описываются автоморфизмы одной конкретной конгруэнц-группы (РЖМат, 1964, 7А217; 1973, 9А244).