Конгруэнции и автоморфизмы на клетках алгебр Поста

Пусть ${\mathfrak P}_k$ — алгебра Поста конечного ранга $k\geqslant 3$, ${\mathfrak A}$ — подалгебра алгебры ${\mathfrak P}_k$. Обозначим через ${\mathfrak A}^t$, $t\neq 0$, множество всех функций из ${\mathfrak A}$, зависящих ровно от $t$ переменных, а через ${\mathfrak A}^{(s)}$ $(1\leqslant s\leqslant k)$ множество всех функций из ${\mathfrak A}$, принимающих не более $s$ значений. Через ${\mathfrak L}$ обозначим алгебру, образованную всеми теми функциями из ${\mathfrak P}_k$, которые представимы в виде $f(f_1(x_1)\oplus\ldots\oplus f_n(x_n))$, где $\oplus$ — сложение no ${\rm mod}\,2$, а функции $f, f_1,\ldots f_n$ принадлежат ${\mathfrak P}_k$. Алгебры ${\mathfrak L}^{(2)},{\mathfrak P}_k^{(2)},{\mathfrak P}_k^{(3)},\ldots {\mathfrak P}_k^{(k-1)}$ назовем клетками алгебры ${\mathfrak P}_k$. В заметке доказывается, что каждая клетка алгебры ${\mathfrak P}_k$ имеет ровно $k!$ автоморфизмов и все эти автоморфизмы внутренние. На каждой клетке, за исключением ${\mathfrak L}^{(2)}$ имеются лишь тривиальные конгруэнции, а на ${\mathfrak L}^{(2)}$ имеется только одна нетривиальная конгруэнция. Внутренними являются также все автоморфизмы любой подалгебры алгебры ${\mathfrak P}_k$, содержащей алгебру ${\mathfrak P}_k^{(1)}$.