Конечные группы с единичной $2$-длиной разрешимых подгрупп

Для конечной группы $G$ определим $L(G)$ формулой:
$$L(G)=O^{2^{\prime}}(G/O(G)).$$

Теорема. Пусть $G$ — конечная неразрешимая группа, в которой $2$-длина любой разрешимой подгруппы не превосходит единицы. Тогда $L(G)=T_{0}L_{1}\ldots L_{n}$, где $T_{0}$ — $2$-группа, $[T_{0},L_{i}]=[L_{i},L_{j}]=1$ для всех $i,j=1,2\ldots n$, $i\neq j$. При этом $[L_{i},L_{i}]=L_{i}$ и $L_{i}/Z(L_{i})$ изоморфна $PSU_3(2^{2n})$, $SZ(2^{2n+1})$, $PSL_2(2^{n})$, $PSL_2(q)$, $q\equiv\pm 3 ({\rm mod}\,8)$, или простой группе типа $JR$.
В качестве следствий описаны конечные группы, в которых пересечение любых двух различных силовских $2$-подгрупп содержит не более одной инволюции; конечные группы с силовской $2$-подгруппой ступени нильпотентности $2$, в которой все инволюции центральны; конечные простые группы с одним классом сопряженных инволюций и силовской $2$-подгруппой, в которой все инволюции центральны.