Об арифметических типах интерпретируемости многообразий и некоторых аддитивных задачах с простыми числами

Рассматриваются многообразия с одной основной операцией $f(x_1,\ldots, x_n)$ и одним определяющим тождеством $f(x_1,\ldots,x_n)=f(x_{\pi(1)},\ldots, x_{\pi(n)})$, где $\pi$ – подстановка, цикловое множество которой состоит из разных простых чисел $p_1,\ldots, p_r$ с суммой $p_1+\ldots+p_r=n$. Их типы интерпретируемости вместе с наибольшим элементом $\mathbf1$ решётки $\mathbb L^\mathrm{int}$ называют арифметическими. Доказывается, что арифметические типы составляют дистрибутивную решётку $\mathbb L_\mathrm{ar}$, двойственную решётке $\mathrm{Sub}_f\Pi$ конечных подмножеств множества $\Pi$ всех простых чисел. Показывается, что при $n\geqslant2$ частично упорядоченное множество ${\mathbb L}_\mathrm{ar}(\mathbb S_n)$ арифметических типов, определимых подстановками из $\mathbb S_n$ при фиксированном $n$, является решёткой тогда и только тогда, когда $n=2,3,4,6,8,9,11$.