О радикалах йордановых колец

Доказана следующая теорема о метаидеалах йорданова кольца. Пусть ${\mathfrak R}$ —- йорданово $\Phi$-операторное кольцо ($\Phi\ni\frac{1}{2}$), $\mathfrak{I}$ — идеал в ${\mathfrak R}$, ${\mathfrak M}$ — идеал в $\mathfrak{I}$ и кольцо $\mathfrak{I}/{\mathfrak M}$ не содержит нильпотентных идеалов. Тогда ${\mathfrak M}$ — идеал в ${\mathfrak R}$. Отсюда следует, что для любого наднильпотентного радикала $s$ в классе йордановых колец идеал $s$-полупростого кольца обязан быть $s$-полупростым. Если дополнительно предположить, что идеал $s$-радикального кольца всегда $s$-радикален, то радикал $s$ окажется идеально наследственным, т. е. для любого кольца ${\mathfrak R}$ и любого его идеала $\mathfrak{I}$ будет справедливо равенство $s(\mathfrak{I})=\mathfrak{I}\cap s({\mathfrak R})$. В силу только что сказанного идеально наследственными в классе йордановых колец будут локально конечный, локально нильпотентный, верхний ниль-радикалы, а также радикалы Джекобсона и Маккриммона.