О выпуклости образов квадратичных отображений

Получены обобщения классической теоремы Теплица–Хаусдорфа о выпуклости образа единичной сферы при квадратичном отображении $(y_1,y_2):=[{\mathfrak B}_1(h),{\mathfrak B}_2(h)]$ комплексного гильбертова пространства $H=\{h\}$ в ${\mathbb R}^2=\{(y_1,y_2)\}$. Показано, что при дополнительных предположениях о спектральных свойствах форм ${\mathfrak B}_i(\,\cdot\,)$ аналогичное отображение ${\mathfrak B}(h):=[{\mathfrak B}_1(h),\dots,{\mathfrak B}_k(h)]$ в $\mathbb R^k$ преобразует единичную сферу $S:=\{h\in H: |h|=1\}$ вещественного гильбертова пространства в почти выпуклое множество, т.е. в множество ${\mathfrak B}(S)$, которое отличается от некоторого выпуклого множества $C\subset\mathbb R^k$ не более, чем кусками относительной границы $\overline C\setminus\operatorname{ri}C$ последнего: $C\subset{\mathfrak B}(S)\subset\overline C$ (здесь $\operatorname{ri}C$ – внутренность $C$ в наименьшем аффинном подпространстве, содержащем это множество). Получено аналогичное обобщение теоремы Дайнса о выпуклости образа вещественного линейного пространства $X=\{x\}$ при квадратичном отображении $(y_1,y_2):=[{\mathfrak B}_1(x), {\mathfrak B}_2(x)]$ в $\mathbb R^2=\{(y_1,y_2)\}$. Установлены аппроксимативные аналоги упомянутых результатов.