О двумерных минимальных заполнениях

Рассматриваются римановы метрики на двумерном диске $D$ (с краем). Доказывается, что если метрика $g_0$ такова, что любые две внутренние точки в $D$ соединяются единственной геодезической метрики $g_0$, или если $g_0$ продолжается до полной метрики без сопряженных точек на $\mathbf R^2$, то риманова площадь метрики $g_0$ не превосходит площади любой другой метрики $g$, в которой расстояния между граничными точками диска $D$ не меньше, чем в метрике $g_0$. Ранее этот факт был известен только для случая, когда $g_0$ – метрика постоянной кривизны. Дается обобщение основного результата на финслеров случай и его интерпретация в терминах односвязных липшицевых поверхностей с фиксированным краем в банаховом пространстве.