Классификация конечных групповых схем над кольцами целых полных дискретно-нормированных полей; касательное пространство и полустабильная редукция абелевых многообразий

Получена полная классификация конечных связных групповых схем над разнохарактеристическими полными дискретно-нормированными кольцами в терминах их модулей Картье. Доказана эквивалентность различных определений касательного пространства и размерности таких групповых схем; это дает равенство наименьшей размерности формального группового закона, содержащего данную конечную связную групповую подсхему $S$, количеству порождающих координатного кольца $S$. Выведены следующие критерии редукции абелевых многообразий.
Пусть $K$ — разнохарактеристическое локальное поле с характеристикой поля вычетов $p$, $L$ — конечное расширение $K$, $\mathfrak{O}_K\subset\mathfrak{O}_L$ — их кольца вычетов, $e$ — абсолютный индекс ветвления $L$, $s=[\log_p(pe/(p-1))]$, $e_0$ — индекс ветвления $L/K$, $l=2s+v_p(e_0)+1$.
Для конечной плоской $\mathfrak{O}_L$-групповой схемы $H$ мы обозначаем $\mathfrak{O}_L$-двойственный к $J/J^2$ модуль через $TH$, где $J$ — идеал пополнения координатного кольца $H$.
Пусть $V$ — $m$-мерное абелево многообразие над $K$, имеющее полустабильную редукцию над $L$.
Теорема (A) {\it $V$ имеет полустабильную редукцию над $K$, если и только если для некоторой конечной групповой схемы $H$ над $\mathfrak{O}_K$ существует вложение $H_K$ в $\operatorname{Ker}[p^{l}]_{V,K}$ и $({\mathfrak{O}_L}/p^l{\mathfrak{O}_L})^m$ в $TH_{\mathfrak{O}_L}$.}
Теорема (B) {\it $V$ имеет невырожденную редукцию над $K$, если и только если для некоторой схемы $H_K\subset\operatorname{Ker}[p^l]_{V,K}$ и поля $M$, неразветвленного над $K$, мы имеем $H_M\cong (\mu_{p^l,M})^m$.}