Сходимость по Громову–Хаусдорфу и объемы многообразий

Пусть $n\ge 2$, $M$ и $M_k$ ($k=1,2,\dots$) – компактные $n$-мерные римановы многообразия (возможно, с краем), и $M_k$ сходятся к $M$ в метрике Громова–Хаусдорфа. Доказывается, что $\operatorname{Vol}(M)\le\lim\inf_{k\to\infty}\operatorname{Vol}(M_k)$ при выполнении любого из следующих условий:
(1) все многообразия $M_k$ гомотопически эквивалентны многообразию $M$, а $M$ замкнуто и допускает отображение ненулевой степени на тор $T^n$ или отображение нечетной степени на $\mathbf{RP}^n$;
(2) $n=2$, и эйлеровы характеристики многообразий $M_k$ равномерно ограничены.
При $n\ge3$ строятся примеры, когда $M$ и все $M_k$ диффеоморфны $n$-мерной сфере, но при этом $\operatorname{Vol}(M_k)\to0$.