Сравнение эквивариантной и обычной $K$-теорий алгебраических многообразий

Доказано, что для редуктивной алгебраической группы $G$, определенной над произвольным полем $F$, естественный гомоморфизм $K'_0(G;X)\to K'_0(X)$ является сюръективным для любой квазипроективной $F$-схемы $X$, на которой действует группа $G$, в том и только в том случае, когда $\operatorname{Pic}(G\otimes_FE)=0$ для всех конечных расширений полей $E/F$. В случае, когда $G$ расщеплена, построена спектральная последовательность с членом $E^2$, связанным с эквивариантной $K'$-теорией схемы $X$; сходящаяся к обычным $K'$-группам схемы $X$.