Геометрическая лемма Каннана–Ловаса–Шимоновича, не зависящие от размерности оценки распределения значений полиномов и распределение нулей случайных аналитических функций

Мы хотим привлечь внимание к одному простому геометрическому неравенству, которое не зависит от размерности и может быть доказано с помощью классического “разложения на иглы”. Опираясь на это неравенство, несложным и элегантным способом можно получить точные оценки (тоже не зависящие от размерности) для распределения значений полиномов на выпуклых подмножествах в $\mathbb R^n$. Эти оценки, в свою очередь, ведут к неожиданному результату о распределении нулей случайных аналитических функций. В нестрогих терминах можно сказать, что для простых семейств аналитических функций существует “типичное” распределение нулей. При этом “размер” той части семейства, где у функций распределение нулей отклоняется от типичного на некоторую величину, оценивается сверху числом $\operatorname{const}\exp\text{\{размер уклонения\}}$.
По существу изложение замкнуто в себе. Выбирая стиль, мы стремились к тому, чтобы чтение доставило удовольствие как студенту-старшекурснику, так и специалисту.
В резюме еще принято сообщать, что же в статье нового. На наш взгляд, ответ зависит от двух переменных: “Что написано?” и “Кто читает?” Поскольку значение второй нам недоступно, мы можем лишь привести рамки, в которые наверняка заключен ответ при известном значении первой. Но, вероятно, в нашей ситуации все равно получится стандартный интервал [Ничего, Всё] (концы включаются).