Циклические $q$-цепочки Дарбу

В работе построен дискретный $q$-аналог одевающей цепочки Веселова–Шабата (являющейся обобщением гармонического осциллятора). Показано, что, как и в непрерывном случае, соответствующие операторные соотношения позволяют полностью определить дискретный спектр операторов цепочки: в данном случае он состоит из нескольких $q$-арифметических прогрессий. В этой работе удалось реализовать циклическую $q$-цепочку ограниченными разностными самосопряженными операторами, причем спектр каждого из них дискретен, а собственные векторы образуют полное семейство в гильбертовом пространстве квадратично суммируемых последовательностей. Кроме того, в работе приведено общее решение задачи (в явном виде) для цепочек длины 2 и доказана слабая сходимость построенного $q$-осциллятора к обычному гармоническому осциллятору при $q\to1$.