Спектральное разложение 2-блочных тёплицевых матриц и масштабирующие уравнения

Для произвольной конечной последовательности коэффициентов $p_0,\dots,p_N$ рассматривается соответствующая пара 2-блочных тёплицевых $N\times N$-матриц $(T_s)_{ij}=p_{2i-j+s-1}$, $s=0,1$, $i,j\in\{1,\dots,N\}$. В работе получено полное спектральное разложение матриц $T_0$, $T_1$ по системе их общих собственных подпространств. Доказан критерий их невырожденности и неприводимости, в явном виде найдены ядра, корневые подпространства и все общие собственные подпространства. Результаты применены к исследованию масштабирующих функциональных уравнений, а также уточняющих и каскадных аппроксимационных алгоритмов. В частности, упрощена известная формула для показателей гладкости решений масштабирующих уравнений, доказана факторизационная теорема о представимости решений в виде свертки, охарактеризовано многообразие гладких масштабирующих функций. Решена задача о непрерывной зависимости масштабирующей функции от коэффициентов уравнения. Получен критерий сходимости соответствующих каскадных алгоритмов и уточняющих схем, вычислена скорость сходимости.