Соотношения двойственности в теории аналитической емкости

Дается обзор соотношений двойственности, возникающих в теории аналитической емкости множеств и ее модификаций – емкостей Коши с различными типами мер. Основное внимание уделяется новым, ранее не публиковавшимся соотношениям. В статье также введены и изучены новые модификации этих понятий. Линейные экстремальные задачи типа задачи об аналитической емкости двойственны к таким аппроксимационным процессам, в которых учитывается не только близость приближающего элемента к приближаемому, но и величина приближающего элемента. (При этом величины близости и величины аппроксимант определяются разными метриками.) Для новых модификаций аналитической емкости, вводимых в этой работе, теория аппроксимации с учетом величин аппроксимант обобщается на случай, когда аппроксимация ведется элементами некоторого клина, а не линейного подпространства, как это всегда делалось до сих пор. Особенным своеобразием отличаются аппроксимационные процессы, двойственные к тем модификациям аналитической емкости, в определении которых фигурируют положительные меры (такова, в частности, так называемая “положительная” аналитическая емкость $\gamma$). В этих случаях аппроксимационный процесс состоит не в приближении к элементу, а в том, чтобы “уловить” элемент в некоторый конус, добавляя к этому элементу элементы аппроксимирующего множества (клина или подпространства), причем эти “добавки” должны быть в определенном смысле возможно малыми.
Расширение коллекции различных соотношений для аналитической емкости и ее модификаций, сравнение этих соотношений между собой дают возможность лучше судить об исключительных множествах, возникающих в различных разделах теории аналитических функций. В частности, мы получаем информацию о том, какие процессы аппроксимации возможны на множествах, для которых та или иная рассматриваемая емкость равна нулю.