Оценка вторых производных на границе для поверхностей, эволюционирующих под действием их главных кривизн

Вычисляется мажоранта для модуля производных второго порядка по пространственным переменным на параболической границе области $Q=\Omega\times(0,T)$, $\Omega\in R^n$ для допустимых решений $u:\overline Q\to R^1$ первой начально-краевой задачи для нелинейных уравнений вида $-u_t+\sqrt{1+u^2_x}S_m^{1/m}(k(u))=g\sqrt{1+u_x^2}$, $m=2,\dots,n$. В них $S_m$ – $m$-я элементарная симметрическая функция, $k(u)(x,t)=(k_1(u),\dots,k_n(u))(x,t)$ – набор главных кривизн поверхностей $\mathscr T_t(u): x_{n+1}=u(x,t)$, $x\in\Omega$, в ${\mathbb R}^{n+1}$, $g\colon\overline Q\to{\mathbb R}^1$ – известная функция. Считаются известными мажоранта $M_1$ для $\sup_Q|u_x|$ и положительные константы $\underline M$ и $\overline M$ в неравенствах: $0<\underline M\le(u_t+g\sqrt{1+u^2_x})(x,t)\le \overline M$, $(x,t)\in\overline Q$.