Гладкие аналоги разложения Кальдерона–Зигмунда, количественные теоремы о покрытиях и $K$-функционал для пары $(L_q,W_p^k)$

В предположении компактности вложения пространства $W_p^k$ в пространство $L_q$ на основе локальных приближений функции $f\in L_q$ конструируется семейство разложений $f=g_t+b_t$ ($t>0$), почти оптимальных для пары $(L_q,W_p^k)$, т.е. таких, что имеет место эквивалентность
$$ K(t;f;L_q,W_p^k)\approx\|b_t\|_{L_q}+t\|g_t\|_{W^k_p}. $$
Эти разложения представляют собой аналоги классических разложений Кальдерона–Зигмунда и использованы для доказательства формулы для $K$-функционала пары $(L_q,W_p^k)$. В основе построения и доказательств лежит новая теорема о покрытии.