О положительных решениях уравнения Дарбу $\Delta u=\dfrac{(\alpha-1)}y\,\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\alpha>0$, в полупространстве $y>0$

В работе доказывается следующее обобщение известной леммы Берлинга. Пусть $\mu$ –борелевская мера в ${\mathbb R}^n$, $u(z)=\int_{{\mathbb R}^n}\dfrac{d\mu(t)}{|z-t|^{n+\alpha}}$, $z=(x,y)$, $y>0$; $\alpha>0$. Если $\int_{{\mathbb R}^n}\dfrac{d\mu(t)}{|t|^{n+\alpha}}\le1$, то для любого $A\ge A_0$ имеет место неравенство
$$ \int\int_{\{u(z)\ge A\}}\frac{y^{\alpha-1}}{|x|^{n+\alpha}}\,dx\,dy\le\frac BA\,, $$
где $A_0$ и $B$ – положительные константы, зависящие только от $n$ и $\alpha$ (предлагается явный вид этих констант). Метод доказательства является новым даже в классическом случае $\alpha=n=1$.