Антимонотонные и $P$-точные квадратичные формы и представления частично упорядоченных множеств

Представления частично упорядоченных множеств (чум) и колчанов являются важной частью теории матричных задач и представлений алгебр. При этом особую роль наряду с цепями (т.е. линейно упорядоченными множествами) играют чум некоторого специального вида, которые, как показано в данной работе, находятся во взаимно-однозначном соответствии с рациональными числами $\geq1$.
Забор $\langle n_1,\dots,n_t\rangle$ есть объединение не пересекающихся цепей $Z_i$ ($|Z_i|=n_i$) таких, что минимальный элемент $Z_i$ меньше максимального элемента $Z_{i+1}$ ($i=\overline{1,t-1}$) (и других сравнений нет). Известные списки критических (т.е. минимальных) бесконечно представимых и диких чум состоят из кардинальных сумм цепей, за исключением одного чум $\langle2,2\rangle+Z_4$ из первого и одного чум $\langle2,2\rangle+Z_5$ из второго списка. С другой стороны, каждому чум $S$ авторами было сопоставлено рациональное число $P(S)$ так, что $P(S)<4$ эквивалентно конечной представимости, а $P(S)=4$ – ручности чум $S$. Чум $S$ $P$-точное, если $P(S')<P(S)$ при $S'\subset S$.
Из работ М. В. Зельдича, А. И. Сапелкина и авторов следует, что $P$-точные множества суть кардинальные суммы $r$-множеств, т.е. заборов специального вида (частным случаем которых можно считать и цепи).
В данной работе вводится понятие антимонотонного чум, обобщающее понятие $P$-точного чум и доказывается критерий антимонотонности чум $S$ при условии положительной полуопределенности квадратичной формы $\sum_{s_i\leq s_j}x_i x_j$ ($S=\{s_1,\dots,s_n\}$). При этом удается существенно упростить доказательство критерия $P$-точности, избежав перебора нескольких десятков различных случаев. Получены также явные и простые формулы для вычисления $P(S)$, из которых элементарно выводятся списки критических чум, оригинальные доказательства которых достаточно трудоемки.