Рассеяние магнитными полями

Рассматривается амплитуда рассеяния $s(\omega,\omega';\lambda)$, $\omega,\omega'\in\mathbb S^{d-1}$, $\lambda>0$, отвечающая произвольному быстро убывающему магнитному полю $B(x)$, $x\in\mathbb R^d$. Амплитуда рассеяния является гладкой функцией $\omega$ и $\omega'$ вне диагонали $\omega=\omega'$, но может быть сингулярной на диагонали. Если $d=2$, то сингулярная часть амплитуды рассеяния (например, при поперечной калибровке) является линейной комбинацией $\delta$-функции Дирака и сингулярного знаменателя. Такая структура типична для рассеяния на медленно убывающих магнитных потенциалах. Мы называем этот факт дальнодействующим эффектом Ааронова–Бома. Напротив, при $d=3$ рассеяние имеет в существенном “быстро убывающий” характер, хотя, например, магнитный потенциал $A^{(\operatorname{tr})}(x)$, такой что $\operatorname{curl}A^{(\operatorname{tr})}(x)=B(x)$ и $\langle A^{(\operatorname{tr})}(x),x\rangle=0$, убывает лишь, как $|x|^{-1}$ на бесконечности. Точнее, мы показываем что помимо диагональной функции Дирака (умноженной на явную функцию от $\omega$) амплитуда рассеяния имеет только слабую сингулярность в направлении $\omega=\omega'$ рассеяния вперед. Наш подход основан на построении в размерности 3 быстро убывающего магнитного потенциала $A(x)$, отвечающего заданному быстро убывающему магнитному полю $B(x)$.