Теорема Бёрлинга–Мальявена о мультипликаторе: седьмое доказательство

Излагается новое доказательство теоремы Бёрлинга–Мальявена о существовании функции вещественной переменной со спектром в заданном (малом) промежутке и с малой мажорантой модуля (теорема ВМ1; ее часто называют “теоремой о мультипликаторе”). Приводимое доказательство – чисто вещественное. Оно использует лишь элементарные сведения о преобразовании Гильберта, но ни комплексный анализ, ни теория потенциала в нем не участвуют. Центральный момент составляет теорема 2, связанная с проблемой сохранения липшицевости при преобразовании Гильберта. Дан краткий обзор предшествующих доказательств теоремы ВМ1 и ее обобщений на модельные (коинвариантные) подпространства пространства Харди $H^2(\mathbb R)$.