Гладкость и особенности выпуклых гиперповерхностей

Изучаются выпуклые гиперповерхности в ${\mathbb R}^{n+1}$, для которых одна из мер кривизны имеет ограниченную, но не обязательно строго отделенную от нуля плотность. В частности, установлено, что гиперповерхность $F$ с ограниченной второй мерой кривизны либо гладкая, либо содержит $(n-1)$-мерную плоскую грань, граница которой содержится в границе $F$. Кроме того, восполнен пробел в доказательстве А. В. Погорелова его теоремы о гладкости выпуклой гиперповерхности с гладкой метрикой положительной кривизны.