Кусочно-гладкие масштабирующие функции

В работе дана полная классификация кусочно-гладких масштабирующих функций одной переменной (т.е. решений уравнения $\varphi(x/2)=\sum_{k=0}^N c_k\varphi(x-k)$, имеющих компактный носитель) и охарактеризована структура масштабирующих сплайнов. Для сплайнов доказан критерий сходимости соответствующих уточняющих схем и вычислена скорость сходимости. Доказана факторизационная теорема о разложении гладкой масштабирующей функции (не обязательно стабильной или соответствующей сходящейся схеме) в свертку непрерывной масштабирующей функции и масштабирующего сплайна, порядок которого на единицу меньше гладкости функции. Результаты работы усиливают ранее известные результаты теории масштабирующих уравнений, а также применяются к одной задаче комбинаторной теории чисел (асимптотика функции разбиения Эйлера).