Дагранжева двойственность в теории невыпуклой оптимизации и модификации теоремы Теплйца–Хаусдорфа

Рассматривается невыпуклая задача глобальной оптимизации с ограничениями в виде равенств и неравенств. Предполагается, что фигурирующие в ней функции представляют собой сумму невыпуклой в общем случае квадратичной формы и выпуклого функционала. Установлены достаточные условия корректности метода лагранжевой двойственности, основную роль в которых играют предположения о спектральных свойствах упомянутых форм. Охарактеризованный результат связан с модификацией классической теоремы Теплица–Хаусдорфа о выпуклости образа единичной сферы при квадратичном отображении $(y_1,y_2)\colon=[\mathfrak B_1(h),\mathfrak B_2(h)]$ комплексного гильбертова пространства $H=\{h\}$ в $R^2=\{(y_1,y_2)\}$. Показано, что при дополнительных предположениях о спектральных свойствах форм $\mathfrak B_i(\cdot)$ аналогичное отображение $\mathfrak B(h)\colon=[\mathfrak B_1(h),\dots,\mathfrak B_k(h)]$ в $R^k$ преобразует единичную сферу $S\colon=\{h\in H:|h|=1\}$ в почти выпуклое множество, т.е. в множество $\mathfrak{B}(S)$, которое отличается от некоторого выпуклого множества $\mathfrak C\subset R^k$ не более чем кусками относительной границы $\bar{\mathfrak C}\setminus\operatorname{ri}\mathfrak C$ последнего $\mathfrak C\subset\mathfrak (S)\subset\bar{\mathfrak C}$ (здесь $\operatorname{ri}\mathfrak C$ – внутренность $\mathfrak C$ в наименьшем аффинном подпространстве, содержащем это множество). Рассмотрены приложения к теории оптимального управления.