Изометрические кусочно-линейные погружения двумерных многообразий с полиэдральной метрикой в $\mathbb R^3$

Пусть на связном компактном двумерном многообразии $M$ (замкнутом или с краем) задана полиэдральная метрика $\rho$ т. е. метрика, при которой у каждой точки существует окрестность, изометричная окрестности вершины конуса в $\mathbb R^3$ с конечным полным углом сектора вокруг вершины. Такое многообразие имеет конечное число вершин (полный угол вокруг которых отличен от $2\pi$) и на нем существует единственная (с точностью до гомеоморфизма) гладкая структура. Последнюю можно считать заданной так, что метрика вне вершин задается гладким линейным элементом.
Пусть $f_0:M\to\mathbb R^3$ – $C^2$-гладкое погружение (или вложение), являющееся коротким (сжимающим) для метрики $\rho$. Тогда отображение $f_0$ можно $C^0$-приближать изометрическими кусочно-линейными погружениями $f_i(M,\rho)\to\mathbb R^3$. При этом $f_i$ можно выбрать вложениями, если $f_0$ было вложением.
Использованные конструкции позволили также доказать, что существуют выпуклые многогранники в $\mathbb R^3$, поверхность которых при таких же гранях и том же комбинаторном строении допускает другое изометрическое вложение в $\mathbb R^3$ в виде границы невыпуклого многогранника, имеющего объем, больший, чем у исходного выпуклого.