Аннулятор линейных суперпозиций

Обзор свойств аннулятора линейных суперпозиций в пространствах непрерывных или ограниченных функций. Изложение проведено для любого числа переменных, группы которых могут перекрываться. Устанавливается возможность аппроксимации в слабой (*) топологии любой меры, аннулирующей линейные суперпозиции, мерами с конечными носителями, имеющими те же полные вариации, что и аппроксимируемая мера. Для линейных суперпозиций наиболее общего вида этот факт устанавливается в “грубой” форме: аппроксимирующие меры сами, быть может, не входят в аннулятор, но имеют сколь угодно малые нормы на подпространстве линейных суперпозиций. Для случая линейных суперпозиций с вполне разделенными переменными (сюда включаются так называемые квазимногочлены) аппроксимация улучшается: аппроксимирующие меры входят в аннулятор. Из “грубой” теоремы выводится равноудаленность непрерывной функции от подпространств линейных суперпозиций (самого общего вида) непрерывных и ограниченных функций с одним и тем же базисом, состоящим из непрерывных функций. Приведены теоремы двойственности в задаче аппроксимации линейными суперпозициями и характеристический признак наилучшего приближения при такой аппроксимации. Дана комбинаторно-геометрическая характеристика компактов, на которых подпространство сумм суперпозиций плотно в пространстве всех непрерывных функций. В качестве вспомогательных результатов изложены некоторые интерполяционные свойства подпространств линейных суперпозиций, которые получаются применением метода перемешивания переменных (blending method). Во Введении приведена подробная история вопроса.