Дважды экспоненциальная нижняя оценка на степень системы образующих полиномиального простого идеала

Рассмотрим полиномиальное кольцо $A$ от $n+1$ переменных над произвольным бесконечным полем $k$. Мы доказываем, что для всех достаточно больших $n$ и $d$ существует однородный простой идеал ${\mathfrak p}\subset A$, удовлетворяющий следующим условиям. Идеал $\mathfrak p$ соответствует определенной над $k$ и неприводимой над $\overline{k}$ компоненте проективного алгебраического многообразия, заданного системой однородных полиномиальных уравнений с многочленами из $A$ степеней меньше чем $d$. Любая система образующих идеала $\mathfrak p$ содержит многочлен степени не меньше чем $d^{2^{cn}}$ для абсолютной константы $c>0$, которая может быть вычислена эффективно. Это решает важную старую проблему в эффективной алгебраической геометрии. Для случая конечных полей мы получаем слегка менее сильный результат.