Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений

В $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ рассматриваются матричные периодические дифференциальные операторы (ДО) $\mathcal A=\mathcal A (\mathbf x,\mathbf D)$, допускающие факторизацию ${\mathcal A}={\mathcal X}^*{\mathcal X}$, где $\mathcal X$ – однородный ДО первого порядка. Положим ${\mathcal A}_\varepsilon={\mathcal A}(\varepsilon^{-1}\mathbf x,\mathbf D)$, $\varepsilon>0$. Изучается поведение при $\varepsilon\to 0$ решений $\mathbf u_\varepsilon(\mathbf x,\tau)$ задачи Коши для уравнения Шрёдингера $i\partial_\tau\mathbf u_\varepsilon={\mathcal A}_\varepsilon\mathbf u_\varepsilon$, а также для гиперболического уравнения $\partial^2_\tau\mathbf u_\varepsilon=-{\mathcal A}_\varepsilon\mathbf u_\varepsilon$. Пусть $\mathbf u_0$ – решение соответствующей усредненной задачи. Получены оценки порядка $\varepsilon$ по норме в $L_2(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$ при фиксированном $\tau\in\mathbb R$ для разности $\mathbf u_\varepsilon-\mathbf u_0$. Оценки равномерны относительно нормы начальных данных в пространстве Соболева $H^s(\mathbb R^d;\mathbb C^n)$, где $s=3$ в случае уравнения Шрёдингера и $s=2$ в случае гиперболического уравнения. Прослежена зависимость постоянных в оценках от времени $\tau$, что позволяет получать квалифицированные оценки погрешности при малом $\varepsilon$ и большом $|\tau| =O(\varepsilon^{-\alpha})$ с подходящим $\alpha<1$.