О преобразованиях Фурье функций класса Р. Неванлинны в полуплоскости

Пусть $f$ – голоморфная в верхней полуплоскости функция из класса Р. Неванлинны $N(\mathbb{C}_+)$, причём
$$ \varlimsup_{y\to+\infty}\frac{\ln|f(iy)|}{y}\le 0, $$
граничные значения которой на вещественной оси принадлежат $L^1(\mathbb{R})$. В работе показано, что если $|\hat{f}(x)|\leq\frac{1}{\lambda(|x|)}$, $x\in{\mathbb{R}_-}$, где $\hat{f}$ – преобразование Фурье функции $f$, а $\lambda$ – логарифмически выпуклая положительная функция на ${\mathbb{R}_+}$, то из условия $\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln\lambda(x)}{x^{3/2}}dx=+\infty$ следует, что $\hat{f}(x)=0$ для всех $x\in{\mathbb{R}_-}$. Обратно, если не выполняется одно из вышеуказанных условий, то строится функция $f\in N(\mathbb{C}_+)\cap L^1(\mathbb{R})$, для которой $\hat{f}(x)\ne 0$, $x\in{\mathbb{R}_-}$.