$\mathrm A_2$-доказательство структурных теорем для группы Шевалле типа $\mathrm F_4$

Мы даём новое геометрическое доказательство стандартного описанияподгрупп групп Шевалле $G=\mathrm{GF}_4,R)$ типа $\mathrm F_4$ над коммутативным кольцом $R$, нормализуемых элементарной подгруппой $\mathrm E(\mathrm F_4,R)$. Имеется два основных типа доказательств подобных результатов. Локализационные доказательства (Квиллен, Суслин, Бак) основаны на редукции размерности. Первое доказательство структурных теорем для исключительных групп на этом пути было получено в работах Абе, Судзуки, Таддеи и Васерштейна, однако оно опиралось на нетривиальные результаты, такие как теорема простоты Шевалле и редукция по радикалу. В дальнейшем первый автор, Степанов и Плоткин развили геометрический подход, разложение унипотентов, основанный на редукции по рангу. Этот подход совмещает методы Суслина, Уилсона и Голубчика, относившиеся к классическим группам, и методы теории представлений и алгебраической $K$-теории, введённые в структурную теорию групп Шевалле Мацумото и Штейном. Для векторных представлений классических групп доказательства, получающиеся на этом пути, совсем элементарны. С другой стороны, их обобщения на исключительные группы потребовали явного знания знаков структурных констант действия и уравнений на орбиту вектора старшего веса. Кроме того, они зависят от существования классических подгрупп очень большого ранга. В работе первого автора и Гавриловича для групп Шевалле типов $\Phi=\mathrm E_6,\mathrm E_7$ было предложено еще одно геометрическое доказательство структурных теорем (the proof from the Book), совмещающее идеи разложения унипотентов и кратного коммутирования. В настоящей работе мы показываем, что ценой дополнительных усилий можно так модифицировать это доказательство, чтобы охватить случай $\Phi=\mathrm F_4$. Попутно мы устанавливаем несколько новых фактов о группе Шевалле типа $\mathrm F_4$ и её 27-мерном представлении.