Модулярные формы и пространства модулей абелевых и $K3$ поверхностей

Автоморфные формы на ортогональной группе применяются к теории пространств модулей поляризованных абелевых и $K3$ поверхностей. Доказана неунирациональность пространств модулей абелевых поверхностей с поляризацией типа $(1,m)$, где $m\geq 13$ – целое свободное от квадратов $(m\neq 14,15,30)$ и неунирациональность двойного накрытия пространства модулей поляризованных $K3$ поверхностей. В случае пространств модулей $K3$ поверхностей со структурой уровня $q\geq 3$ доказано, что соответствующее пространство модулей имеет общий тип. Построены примеры сингулярных модулярных форм на классической однородной области четвертого типа.