Гиперболическое уравнение с большим параметром при младших членах и иерархия волн

Статья посвящена построению и исследованию асимптотики при $\mathcal K\to+\infty$ решения задачи:
\begin{gather} \mathcal H\equiv u_{tt}-\sum_{i,j=1}^m a_{ij}u_{x_i x_j}+\sum_{\alpha=0}^m(\mathcal Ka_{\alpha}+b_{\alpha})u_{x_\alpha}+(\mathcal Kc_1+c)u=\delta(X), \tag{1} \\ u|_{t<0}=0, \nonumber \\ X=(x_0,x_1,\dots,x_m). \nonumber \end{gather}
Здесь $x_0\equiv t$; коэффициенты уравнения – бесконечно дифференцируемые функции $t,x_1,\dots,x_m$; матрица $(a_{ij})$ положительно определенная. Все рассмотрения ведутся при выполнении некоторого условия устойчивости. Асимптотическое разложение и относится к классу равномерных: оно описывает поведение и как вблизи начала координат, так и при удалении от него на расстояние, не зависящее от $\mathcal K$. Кроме того, оно является асимптотикой по гладкости. При больших $\mathcal K$ $u$ существенно отлично от нуля лишь в окрестности некоторой линии $l$, определяемой коэффициентами $a_{\alpha}$. Аналитический характер асимптотики $u$ вблизи $l$ аналогичен аналитическому характеру так называемых гауссовых пучков в теории дифракции коротких волн. В этой сосредоточенности $u$ при $\mathcal K\to +\infty$ в окрестности $l$ и проявляется явление иерархии волн.