О параболических уравнениях, порождаемых симметрическими функциями собственных значений Гессиана или главными кривизнами искомой поверхности. Часть I: Параболические уравнения Монжа Ампера

В работе доказана глобальная однозначная разрешимость уравнения $-u_t+(\operatorname{det}u_{xx})^{1/n}=g$, $(x,t)\in Q_T=\Omega\times[0,T)$ при начально-краевых условиях $u(x,0)=\varphi(x,0)$ для $x\in\Omega$; $u(x,t)=\varphi(x,t)$ для $(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]$, если $g$ и $\varphi$ суть достаточно гладкие функции, удовлетворяющие необходимым условиям согласования, $\varphi(x,0)$ – строго выпукла в $\bar\Omega$, a $\Omega$ – выпуклая область с достаточно гладкой границей и если выполнено любое из двух условий
$$ \min_{Q_T}g+\min\{\min_{(x,t)\in\partial'Q_{T}}\varphi_t(x,t)\}-\frac{1}{2}ad^2>0, $$
где $\partial'Q_T$ – боковая поверхность цилиндра $Q_T$ вместе с нижним основанием, $d$ есть радиус наименьшего шара, содержащего $\Omega$, a $a=\max\{0;\max_{Q_T}g_t\}$ или
$$ \min\{\min_{(x,t)\in\partial'Q_T}[\varphi_t(x,t)+g(x,t)]\}>0, $$
причем матрицы $g_{xx}(x,t)$, $((\operatorname{det}\varphi_{xx}(x,0))^{1/n})_{xx}$, $(x,t)\in Q_T$, неположительны.
В последнем параграфе дано сравнительно простое доказательство предложения общего характера о гельдеровости некоторого семейства функции. Из этого предложения следуют оценки констант Гёльдера для $u_{x_ix_j}$ в $\bar{Q}_T$.