Коллапсирующие многообразия неположительной кривизны. I

Семейство римановых метрик $g_\delta$ на многообразии $M$ коллапсирует, если радиусы инъективности этих метрик $\to0$ равномерно на $M$, а секционные кривизны ограничены при $\delta\to0$. Вводится понятие Cr-структуры: это дифференциально-топологическая структура на гладком многообразии, которая близка, с одной стороны, к $F$-структуре в смысле Чигера и Громова (РЖмат, 1987, ЗА704), а с другой — к понятию графа многообразий. Грубо говоря, если на $M^n$ есть Cr-структура, то $M^n$ является объединением своих частей $M_i$, каждая из которых похожа на произведение $N^{n-k_i}\times T^{k_i}$, где $k_i>0$, $T^k$ — $k$-мерный тор, причем эти части прилегают друг к другу согласовано со структурой произведения. Основной результат состоит в следующем. Для $n=2,3,4$ существует такая постоянная $\epsilon(n)>0$, что если радиус инъективности $n$-мерного замкнутого риманова многообразия $M$ с секционными кривизнами $-1\le K\le 0$ всюду $<\epsilon(n)$, то метрика $M$ локально содержит евклидов сомножитель и на $M$ существует Cr-структура. В частности, на $M$ существует семейство римановых метрик, коллапсирующее с объемом $\to0$, и равны нулю следующие инварианты $M$: эйлерова характеристика, симплициальный объем, минимальный объем, числа Понтрягина.