Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения

Доказана достаточность условий следующей теоремы, полностью решающей проблему 67 из монографии Л. Фукса «Бесконечные абелевы группы» (необходимость доказана в [4]). Пусть $n=r_1+r_2+\dots+r_s=l_1+l_2+\dots+l_t$ — два разбиения числа $n$ в суммы натуральных слагаемых, $u$ — количество слагаемых $r_i$, равных 1, $v$ — количество слагаемых $l_j$, равных 1. Для того чтобы существовала абелева группа без кручения ранга $n$, допускающая как прямое разложение с рангами неразложимых слагаемых $r_1,r_2,\dots,r_s$, так и разложение с рангами неразложимых слагаемых $l_1,l_2,\dots,l_t$, необходимо и достаточно, чтобы 1) $r_i\le n-v$, $l_j\le n-u$ для всех $i,j$, $1\le i\le s$, $1\le j\le t$; 2) если $r_i=n-v$ для некоторого $i$, то среди чисел $l_j$ лишь одно отлично от 1 (и равно $n-v$); если $l_j=n-u$ для некоторого $j$, то среди чисел $r_i$ лишь одно отлично от 1 (и равно $n-u$).